モンティ・ホール問題は、三つのドアから当たりを選ぶ確率の問題です。
結論からいえば、司会者が外れのドアを一つ開けたあとに、もう一方の閉じたドアへ選択を変えるほうが有利です。変えない場合の当選確率は1/3、変える場合は2/3になります。
残ったドアが二つでも、両方が1/2になるわけではありません。司会者は当たりの場所を知ったうえで、外れだけを選んで開けるからです。
モンティ・ホール問題のルール
この結論は、次のルールがすべて成り立つ場合に限られます。
- 三つのドアのうち、一つの裏には車、残り二つの裏にはヤギがいる。
- 参加者は、最初に一つのドアを選ぶ。
- 司会者は当たりの場所を知っており、参加者が選ばなかったドアから、必ずヤギのいる一つを開ける。
- 司会者は、参加者にドアを変える機会を必ず与える。
司会者が偶然ドアを開ける場合や、ドアを変える機会を出す条件が異なる場合には、同じ2/3という結論をそのまま使えません。
先に結論を比較する
| 戦略 | 当たる条件 | 当選確率 |
|---|---|---|
| 最初のドアを変えない | 最初から車を選んでいた場合 | 1/3 |
| 残ったドアへ変える | 最初にヤギを選んでいた場合 | 2/3 |
ドアを変える戦略は、変えない戦略の2倍の確率で当たります。
なぜ二択でも1/2にならないのか
最初に選んだドアは1/3のまま
参加者が最初に選んだドアに車がある確率は1/3です。反対に、選ばなかった二つのドアのどちらかに車がある確率は、合わせて2/3です。
この時点では、選んだ一つのドアと、選ばなかった二つのドアの組を比べています。確率は最初から1/3対2/3に分かれています。
司会者は外れだけを取り除く
司会者は、選ばなかった二つのドアから無作為に一つを開けるのではありません。当たりを避け、ヤギのいるドアだけを開けます。
条件付き確率とは、ある情報がわかったという条件のもとで考える確率です。この問題では、「当たりを知る司会者が、必ず外れを開けた」という条件が判断に影響します。
選ばなかった二つのドアという組が持っていた2/3の確率は、司会者が外れを一つ取り除くと、もう一方の閉じたドアに対応します。最初に選んだドアの1/3は変わらないため、残ったドアへ変えるほうが有利です。
全ケースを並べて確かめる
参加者が最初にドアAを選んだとします。車の場所は、次の三通りです。
| 車の場所 | 司会者が開けるドア | 変えない結果 | 変える結果 |
|---|---|---|---|
| ドアA | ドアBかドアCのヤギ | 当たり | 外れ |
| ドアB | ドアC | 外れ | 当たり |
| ドアC | ドアB | 外れ | 当たり |
最初から車を選べるのは三通りのうち一通りです。最初にヤギを選ぶ残り二通りでは、司会者がもう一頭のヤギを見せるため、閉じたドアへ変えれば必ず車を選べます。
したがって、変えない戦略は一通り、変える戦略は二通りで当たります。これが1/3と2/3の違いです。
手元で確かめる方法
計算だけでは納得しにくい場合は、紙を使って同じルールを再現できます。
- 三枚の紙をドアに見立て、一枚だけに「車」、二枚に「ヤギ」と書く。
- 一人が司会者となり、紙の配置を確認する。もう一人は参加者として一枚を選ぶ。
- 司会者は、参加者が選ばなかった紙から、必ず「ヤギ」の一枚を見せる。
- 参加者が選択を変えた場合と変えなかった場合の結果を記録する。
- 役割や配置を変えながら数十回繰り返し、それぞれの当選率を比べる。
試行回数が少ない間は結果に偏りが出ることがあります。記録を重ねると、二つの戦略の差を確認しやすくなります。
日常の判断へ当てはめるときの注意
モンティ・ホール問題から学べるのは、「一度決めたら必ず変更したほうがよい」という教訓ではありません。新しい情報がどのようなルールで示されたのかを確かめる必要がある、という点です。
情報を示した人が答えを知っていたのか、特定の情報だけを見せる決まりだったのか、最初の選択にかかわらず同じ機会が与えられたのかによって、判断に使える確率は変わります。
現実の選択には、この問題にはない条件もあります。モンティ・ホール問題の2/3を別の意思決定へ直接当てはめず、まず情報が生まれた過程を確認することが、確率を誤読しないための手順です。
モンティ・ホール問題の要点
- 最初に選んだドアが当たりである確率は1/3。
- 選ばなかった二つのドアに当たりがある確率は、合わせて2/3。
- 司会者は当たりを知り、必ず外れを一つ開ける。
- そのルールのもとでは、残ったドアへ変えると2/3の確率で当たる。
- 結論を理解するには、残った選択肢の数だけでなく、情報が示された手順を見る。